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17.已知函数f(x)=$\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^x}}}$,且满足f(1)=-$\frac{1}{3}$
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ) 判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)若对任意的t∈[0,1],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

分析 (Ⅰ)把x=-$\frac{1}{3}$代入函数f(x)=$\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^x}}}$列出关于a的方程,通过解方程求得a的值;
(Ⅱ) 首先求得该函数的定义域,然后通过f(x)与f(-x)间的数量关系来判定函数f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)利用函数的奇偶性和单调性得到不等式t2-2t>k-2t2,通过解不等式求得k的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)因为 $f(1)=-\frac{1}{3}$,代入解析式,得
$\frac{{1-{2}}}{{a+{2}}}$=-$\frac{1}{3}$,
解得a=1,
所以$f(x)=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$;
(Ⅱ) 由$f(x)=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$知,函数f(x)的定义域为R,
又因为$f(-x)=\frac{{1-{2^{-x}}}}{{1+{2^{-x}}}}=\frac{{{2^x}-1}}{{1+{2^x}}}=-f(x)$,
所以函数f(x)为奇函数;
(Ⅲ)$f(x)=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{2}{{1+{2^x}}}-1$在R上单调递减,
∵f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
∴t2-2t>k-2t2(t∈[0,1])恒成立,$即k<3{t^2}-2t=3{(t-\frac{1}{3})^2}-\frac{1}{3}恒成立$,
因为$\frac{1}{3}∈[0,1]$,即$k<-\frac{1}{3}$.

点评 本题考查了指数函数综合题,解题时,需要掌握函数奇偶性的概念,指数函数的单调性,以及二次函数的最值的求法,综合性比较强,有一定的难度.

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