Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^x}}}$，且满足f（1）=-$\frac{1}{3}$
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若对任意的t∈[0，1]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把x=-$\frac{1}{3}$代入函数f（x）=$\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^x}}}$列出关于a的方程，通过解方程求得a的值；
（Ⅱ） 首先求得该函数的定义域，然后通过f（x）与f（-x）间的数量关系来判定函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用函数的奇偶性和单调性得到不等式t²-2t＞k-2t²，通过解不等式求得k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为 $f（1）=-\frac{1}{3}$，代入解析式，得
$\frac{{1-{2}}}{{a+{2}}}$=-$\frac{1}{3}$，
解得a=1，
所以$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$；
（Ⅱ） 由$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$知，函数f（x）的定义域为R，
又因为$f（-x）=\frac{{1-{2^{-x}}}}{{1+{2^{-x}}}}=\frac{{{2^x}-1}}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，
所以函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{2}{{1+{2^x}}}-1$在R上单调递减，
∵f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∴t²-2t＞k-2t²（t∈[0，1]）恒成立，$即k＜3{t^2}-2t=3{（t-\frac{1}{3}）^2}-\frac{1}{3}恒成立$，
因为$\frac{1}{3}∈[0，1]$，即$k＜-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了指数函数综合题，解题时，需要掌握函数奇偶性的概念，指数函数的单调性，以及二次函数的最值的求法，综合性比较强，有一定的难度．