Question

设直线y=x+2与抛物线y=ax²（a＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线在N点处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得NA⊥NB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将直线的方程y=x+2代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用导数的几何意义即可求得切线的斜率，从而解决问题抛物线在N点处的切线与AB平行的问题；
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使得NA⊥NB，再利用M是线段AB的中点及AB的长，列出方程求出a值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（Ⅰ）由得ax²-x-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由y′=（ax²）′=2ax知，抛物线在N点处的切线的斜率为，
因此，抛物线在点N处的切线与直线AB平行．
（Ⅱ）假设存在实数a，使NA⊥NB．
由M是线段AB的中点，∴．
由MN⊥x轴，知，
又，，解得或（舍去）．
存在实数，使得NA⊥NB．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆锥曲线的综合问题等知识；需要注意的是（2）题中存在性问题的证明方法，即对于存在性问题，可先假设存在，求出参数，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．