Question

5．在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄与b₂，b₃，b₄的值；
（2）猜想数列{a_n}，{b_n}的通项公式（不需要证明）．

Answer 1

分析 （1）根据等差、等比中项的性质列出方程组，根据a₁=2，b₁=4依次求出a₂，a₃，a₄与b₂，b₃，b₄的值；
（2）由（1）求出各个项的值，变形后观察出与n的规律，猜想数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{n}={a}_{n}{a}_{n+1}}\\{{{a}_{n+1}}^{2}={b}_{n}{b}_{n+1}}\end{array}\right.$，
∵a₁=2，b₁=4，
当n=1时，$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{1}={a}_{1}{a}_{2}}\\{{{a}_{2}}^{2}={b}_{1}{b}_{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=6}\\{{b}_{2}=9}\end{array}\right.$，
同理可得，$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{2}={a}_{2}{a}_{3}}\\{{{a}_{3}}^{2}={b}_{2}{b}_{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=12}\\{{b}_{3}=16}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{3}={a}_{3}{a}_{4}}\\{{{a}_{4}}^{2}={b}_{3}{b}_{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=20}\\{{b}_{4}=25}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可得，a₁=2=1×2、b₁=4，a₂=6=2×3、b₂=9，a₃=12=3×4、b₃=16，
a₄=20=4×5、b₄=25，…，
∴猜想a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²．

点评 本题考查归纳推理，以及等差、等比中项的性质，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．