Question

17．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA₁=12，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B₁C；  
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）证明C₁C⊥AC，AC⊥BC，可得AC⊥平面BCC₁B₁，而B₁C?平面BCC₁B₁，故AC⊥B₁C．
（2）连接BC₁交B₁C于O点，由三角形中位线的性质得OD∥AC₁，又OD?平面CDB₁，可得AC₁∥平面CDB₁．

解答 证明：（1）∵C₁C⊥平面ABC，AC?面ABC，∴C₁C⊥AC．
∵AC=9，BC=12，AB=15，∴AC⊥BC． 又 BC∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，而B₁C?平面BCC₁B₁，∴AC⊥B₁C．
（2）连接BC₁交B₁C于O点，连接OD，
∵O，D分别为BC₁，AB的中点，
∴OD∥AC₁，又OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的方法，体现了数形结合的数学思想，连接BC₁交B₁C于O点，证明OD∥AC₁，是解题的难点．