Question

已知命题p：“方程x²+y²-x+y+m=0对应的曲线是圆”，命题q：“双曲线mx²-y²=1的两条渐近线的夹角为60°”．若这两个命题中只有一个是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．

解答：∵命题p：“方程x²+y²-x+y+m=0对应的曲线是圆
∴若p真，由△=（-1）²+1²-4m＞0得：m＜

1

2

．
又∵命题q：“双曲线mx²-y²=1的两条渐近线的夹角为60°
∴若q真，由于渐近线方程为y=±

m

x(m＞0)，
由题，

m

=

3

或

3

3

，得：m=3或

1

3

．
∵若这两个命题中只有一个是真命题
∴p真q假时，m∈(-∞，

1

3

)∪(

1

3

，

1

2

)；
  p假q真时，m=3．
综上所述，所以实数m的取值范围，m∈(-∞，

1

3

)∪(

1

3

，

1

2

)∪{3}

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目