Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为

3

直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为4

3

．
（1）求抛物线的方程；
（2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），知过F且斜率为

3

直线方程为y=

3

(x-

p

2

)，联立

y2=2px y= 3 (x- p 2 )

，得12x²-20px+3p²=0，解得M（

3

2

p，

3

p），由此能求出抛物线的方程．
（2）①当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程为y=x₀，x₀＞0，则x₀=2

x0

，解得x₀=4，直线PQ过定点（4，0）．
当直线PQ的斜率存在时，假设直线直线PQ过定点（4，0），则设直线PQ的方程为y=k（x-4），由此入手能够证明直线PQ恒过定点（4，0）．

解答：（1）解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），
∴过F且斜率为

3

直线方程为y=

3

(x-

p

2

)，
联立

y2=2px y= 3 (x- p 2 )

，得12x²-20px+3p²=0，
解得x=

3

2

p，或x=

p

6

，
∵直线与抛物线在x轴上方的交点为M，
∴M（

3

2

p，

3

p），
∵过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，四边形OFMN的面积为4

3

，
∴

1

2

(

p

2

+

3p

2

)×

3

p=4

3

，解得p=2，
∴抛物线的方程y²=4x．
（2）证明：①当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程为y=x₀，x₀＞0，
则x₀=2

x0

，解得x₀=4，直线PQ过定点（4，0）．
②当直线PQ的斜率存在时，假设直线直线PQ过定点（4，0），则设直线PQ的方程为y=k（x-4），
联立

y2=4x y=k(x-4)

，得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=8+

4

k2

，x₁x₂=16，
∴y₁+y₂=k（x₁-4）+k（x₂-4）=k（8+

4

k2

）-8k=

4

k

，
y₁y₂=k（x₁-4）•k（x₂-4）
=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]
=k²[16-4（8+

4

k2

）+16]=-16．
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(8+ 4 k2 )2-4×16+( 4 k )2-4×(-16)

=2

4 k4 + 20 k2 +16

．
∵线段PQ的中点A（4+

2

k2

，

2

k

），
∴|AO|=

(4+ 2 k2 )2+( 2 k )2

=

4 k4 + 20 k2 +16

．
∴以线段PQ为直径的圆恒过原点O．
即假设成立，故直线PQ恒过定点（4，0）．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程恒过定点的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．