Question

已知函数y=

2

x-1

，x∈[2，6]．试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性并求此函数在x∈[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根据函数单调性的定义可知设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，从而得到f（x₁）与f（x₂）的大小，即可确定单调性，从而求出最值．

解答：解：设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数y=

2

x-1

是区间[2，6]上的减函数．
因此，函数y=

2

x-1

在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x=2时，y_max=2；当x=6时，y_min=

2

5

．

点评：本题主要考查了函数单调性的判定与证明，以及函数的最值及其几何意义，解题的关键是化简变形，属于中档题．