Question

17．设a为实数，函数f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）≤1列不等式，对a进行讨论解出a的范围，
（2）根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间，
（3）设g（x）=f（x）+|x|，写出g（x）的解析式，利用二次函数的性质判断g（x）的单调性，根据零点存在定理判断即可．

解答 解：（1）∵f（0）≤1
∴f（0）=（0-a）²+|x-a|-a（a-1）=a²+|a|-a（a-1）=|a|+a≤1
∴当a≤0时，不等式为0≤1恒成立，满足条件，
当a＞0时，不等式为a+a≤1，
∴0＜a≤$\frac{1}{2}$，
综上所述a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）当x＜a时，函数 f（x）=x²-（2a+1）x+2a，
其对称轴为x=$\frac{2a+1}{2}$=a+$\frac{1}{2}$＞a，此时y=f（x）在（-∞，a）时是减函数，
当x≥a时，f（x）=x²+（1-2a）x，
其对称轴为：x=a-$\frac{1}{2}$＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，
综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（-∞，a）上单调递减，
（3）设g（x）=f（x）+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-2a）x，x≥a}\\{{x}^{2}-2ax+2a，0≤x＜a}\\{{x}^{2}-（2a+2）x+2a，x＜0}\end{array}\right.$，
当x≥a时，其对称轴为x=a-1，
当0≤x＜a时，其对称轴为x=a，
当x＜0时，其对称轴为x=a+1，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∵g（0）=2a＞0，g（a）=a²+（2-2a）a=2a-a²=-（a-1）²+1，
又a＞2，
∴g（a）=-（a-1）²+1在（2，+∞）上单调递减，
∴g（a）＜g（2）=0，
∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点，
综上所述a＞2时，f（x）+|x|在R上有2个零点．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质，以及函数零点存在定理，关键是分类讨论，属于中档题