Question

15、已知三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，下列结论正确的有

①②④

．（写出所有正确结论的编号）
①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB；
②由顶点P作三棱锥的高，其垂足是△ABC的垂心；
③△ABC可能是钝角三角形；
④相对棱中点的连线相交于一点．

Answer 1

分析：①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，由线面直的性质可以证明；
②由顶点P作三棱锥的高，其垂足是△ABC的垂心，由题设条件验证其是否是底面高线的交点即可；
③△ABC可能是钝角三角形，由垂足的位置可以判决；
④相对棱中点的连线相交于一点，此点是底面高线上的点，由此可以判断．

解答：解：①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，由此条件可以得出，每一条棱都垂直于另外两条棱所确定的平面，由线面垂直即可即出PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB故命题正确；
②由顶点P作三棱锥的高，其垂足是△ABC的垂心，由PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，知三侧棱在底面的射影一定垂直于对边，故垂足是△ABC的垂心，命题正确；
③△ABC可能是钝角三角形，③△ABC不可能是钝角三角形，与实际图形不相符；
④相对棱中点的连线相交于一点，可在图形中用平行四边形对角线相交且互相平分证明出相对棱中点的连线相交于一点，故此命题正确．
综上知结论正确的有①②④
故答案为：①②④．

点评：本题考查棱锥的结构特征，解答本题的关键是对棱锥中点线面的位置关系有着比较熟悉的了解，且能通过其所知的特征判断出一些结论．本题考查了空间想像能力以及推理论证的能力，综合性较强