Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间上无零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）减区间为，单调递增区间为；（2）

【解析】

（1）把代入到中求出，令求出的范围即为函数的增区间，令求出的范围即为函数的减区间；

（2）时不可能恒成立，所以要使函数在上无零点，只需要对时恒成立，列出不等式解出大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函

数的增减性得到这个函数的最大值即可得到的取值范围；

解：（1）当时，，定义域为，则，

令，得，令，得，

∴的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为.

（2）∵函数在区间上无零点，

∴在区间上，恒成立或恒成立，

，

，

①当时，，

在区间上，，

记，

则，

在区间上，，

∴在区间上，单调递减，∴，

即，∴，

即在区间上恒成立，满足题意；

②当时，，，

，

∵，，∴，

∴在上有零点，即函数在区间上有零点，不符合题意.

综上所述，.