Question

已知点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象上的两点，若对于任意实数x₁，x₂，当x₁+x₂=0时，以P，Q为切点分别作函数f（x）的图象的切线，则两切线必平行，并且当x=1时函数f（x）取得极小值1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若M（t，g（t））是函数g（x）=f（x）+3x-3（1≤x≤6）的图象上的一点，过M作函数g（x）图象的切线，切线与x轴和直线x=6分别交于A，B两点，直线x=6与x轴交于C点，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（1）由题意：f'（x）=3x²+2ax+b
且f'（-x）=f'（x）恒成立知a=0①
又由

f′(1)=0 f(1)=1

?

3+2a+b=0 1+a+b+c=1

② ③

由①②③得：a=0，b=-3，c=3，f（x）=x³-3x+3…（5分）
（2）g（x）=f（x）+3x-3=x³（1≤x≤6）
g（x）在M处的切线方程是：y-t³=3t²（x-t），
即y=3t²x-2t³（1≤t≤6）
令x=6可得：B（6，18t²-2t³），C（6，0）．
△ABC的面积S=

1

2

（6-

2

3

t）（18t²-2t³）=

2

3

t⁴-12t³+54t²，
S′=

8

3

t³-36t²+108t=

4

3

t（2t-9）（t-9），
令S′=0可得：t=

9

2

，t-=0（舍），t=9（舍），
∴S在[1，

9

2

]上为增函数，[

9

2

，6]上为减函数，
∴△ABC的面积的最大值为S（

9

2

）=

2187

8

．