Question

已知cosα=

1

7

，cos(α-β)=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

（Ⅰ） 求

cos(π+2α)tan(π-2α)sin( π 2 -2α)

cos( π 2 +2α)

的值；
（Ⅱ）求cosβ及角β的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简要求的式子为-2cos²α+1，把cosα=

1

7

代入运算求得结果．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系及角的范围求出sin（α-β） 和 sinα 的值，由两角和差的余弦公式cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）运算求出结果．

解答：解：（Ⅰ）∵cosα=

1

7

，∴

cos(π+2α)tan(π-2α)sin( π 2 -2α)

cos( π 2 +2α)

=

-cos2α•(-tan2α)cos2α

-sin2α

=-cos2α=-2cos²α+1=

47

49

．
（Ⅱ）∵cos(α-β)=

13

14

，0＜β＜α＜

π

2

，∴sin（α-β）=

3 3

14

，sinα=

4 3

7

．
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

，∴β=

π

3

．

点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式的应用，属于中档题．