Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n；{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₃S₃=24，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令Cn=

n

bn

+

1

an•an+2

，T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n；
①求T_n；
②当n≥3时，证明：4（n+2）T_n＞15（n+1）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d（d＞0），{b_n}的公比为q，则利用b₂S₂=6，b₃S₃=24，可建立方程组，从而可求数列的公差与公比，从而可得数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）由（I）知Cn=

n

bn

+

1

an•an+2

=

n

2n-1

+

1

n(n+2)

=

n

2n-1

+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
①Tn=

n

i=1

i

2i-1

+

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)

n

i=1

i

2i-1

是一个典型的错位相减法模型，

n

i=1

i

2i-1

=4-

n+2

2n-1

.

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)是一个典型的裂项求和法模型，由此可得结论；
②证明当n≥3时，-

2n+4

2n

≥-

2n+4

2n+2

=-

n+2

n+1

，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：设{a_n}的公差为d（d＞0），{b_n}的公比为q，则an=1+(n-1)d ， bn=qn-1，
依题意有

S3b3=(3+3d)q2=24 S2b2=(2+d)q=6

，∴

d=1 q=2

或

d=- 1 2 q=4

（舍去）
解得

d=1 q=2

，故a_n=n，bn=2n-1（n∈N^*）
（II）解：由（I）知Cn=

n

bn

+

1

an•an+2

=

n

2n-1

+

1

n(n+2)

=

n

2n-1

+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
①Tn=

n

i=1

i

2i-1

+

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)

n

i=1

i

2i-1

是一个典型的错位相减法模型，

n

i=1

i

2i-1

=4-

n+2

2n-1

.

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)是一个典型的裂项求和法模型，

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

Tn=4-

n+2

2n-1

+

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

=

19

4

-

n+2

2n-1

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．
②证明：当n≥3时，-

2n+4

2n

≥-

2n+4

2n+2

=-

n+2

n+1

∴Tn=

19

4

-

n+2

2n-1

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

≥

19

4

-

n+2

n+1

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

∴4T_n≥19-4[

n+2

n+1

+

2n+3

2(n+1)(n+2)

]=

15n2+37n+16

(n+1)(n+2)

＞

15(n+1)2

(n+1)(n+2)

=

15(n+1)

n+2

∴当n≥3时，4（n+2）T_n＞15（n+1）．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列与等比数列的综合，考查函数的单调性，正确求通项，用合适的方法求数列的和是关键．