Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知b₁=a₂-2a₁=3．由S_n+1=4a_n+2和S_n=4a_n-1+2相减得a_n+1=4a_n-4a_n-1，即a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），所以b_n=2b_n-1，由此可知{b_n}是以b₁=3为首项、以2为公比的等比数列．
（2）由题设知

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

．所以数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，
得a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=5，所以b₁=a₂-2a₁=3．
由S_n+1=4a_n+2，①
则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2，②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1，所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1，所以{b_n}是以b₁=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，等式两边同时除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

．
所以数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列．
所以

an

2n

=

1

2

+(n-1)

3

4

=

3

4

n-

1

4

，即a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）．（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．