Question

【题目】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn ， {bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn ， n∈N* ， 是否存在实数p，q，r，对于任意n∈N* ， 都有Tn=pan+qbn+r，若存在求出p，q，r的值，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，

由a4+b4=27，S4﹣b4=10得， ，

解得d=3，q=2，

所以an=3n﹣1，bn=2n

（2）解：假设存在实数p，q，r，对于任意n∈N*，都有Tn=pan+qbn+r，

由（1）得，Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn

= ①

∴2Tn= ②

由②﹣①得，

Tn=﹣2（3n﹣1）+3×（22+23+…+2n）+2n+2

=3× +2n+2﹣6n+2

=102n﹣6n﹣10

∴Tn=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=pan+qbn+r，

可得p=﹣2；q=10；r=﹣12，

即存在p=﹣2；q=10；r=﹣12满足条件

【解析】（1）设出首项和公差，根据等差、等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式，列出方程组求出首项和公差，即可求出an、bn；（2）假设存在实数p、q、r满足条件，由（1）表示出Tn ， 利用错位相减法求出Tn的表达式化简后即可求出实数p、q、r的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等差数列的通项公式（及其变式）(通项公式：或)，还要掌握数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)的相关知识才是答题的关键．