Question

（2012•临沂一模）直线l过点（4，0）且与圆（x-1）²+（y-2）²=25交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为

x=4或5x-12y-20=0

．

Answer 1

分析：由圆的标准方程找出圆心的坐标和半径r，由弦AB的长及圆的半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离为3，分两种情况考虑：当直线l与x轴垂直时，直线x=4满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，根据直线l过（4，0）及设出的斜率表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于3列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．

解答：解：由圆（x-1）²+（y-2）²=25，得到圆心坐标为（1，2），半径r=5，
∵|AB|=8，r=5，∴圆心到直线l的距离d=

r2-( |AB| 2 )2

=3，
若直线l垂直于x轴，此时直线l方程为x=4，
而圆心（1，2）到直线x=4的距离为3，符合题意；
若直线l与x轴不垂直，设直线l斜率为k，其方程为：y-0=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∴圆心到直线l的距离d=

|3k+2|

k2+1

=3，解得：k=

5

12

，
此时直线l的方程为：5x-12y-20=0，
综上，所有满足题意的直线l方程为：x=4或5x-12y-20=0．
故答案为：x=4或5x-12y-20=0

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，利用了分类讨论的数学思想，是一道综合性较强的题．本题的答案有两解，注意不要漏解．