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9、设平面α∥平面β,AB、CD是两条异面直线,M、N分别是AB、CD的中点,且A、C∈α,B、D∈β,求证:MN∥平面α.
分析:因为AB与CD是异面直线,故MN与AC、BD不平行.在平面α、β中找不到与MN平行的直线,试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻;于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行,即需找一个过MN且与α平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征,连接BC,则此时AB、BC共面,即BC为沟通AB、CD的桥梁,再取BC的中点E,连接ME、NE,用中位线知识可证得.
解答:证明:连接BC、AD,取BC的中点E,连接ME、NE,则ME是△BAC的中位线,
故ME∥AC,ME?α,∴ME∥α.
同理可证,NE∥BD.又α∥β,
设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF,则CF∥BD,
∴NE∥CF.而NE?平面α,CF?α,∴NE∥α.
又ME∩NE=E,∴平面MNE∥α,
而MN?平面MNE,∴MN∥平面α.
点评:本题考查平面与平面平行的判定,考查学生逻辑思维能力,空间想象能力,是中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设平面α⊥平面β,直线a?α,a?β,则直线a∥α是直线a⊥β的
B
B
条件;
A.充分非必要      B.必要非充分       C.充要        D.非充分非必要
注意:若选(A)则需证明充分性,若选(B)则需证明必要性,若选(C)则需证明充分性及必要性,若选(D)请说明理由.

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科目:高中数学 来源:101网校同步练习 高一数学 苏教版(新课标·2004年初审) 苏教版 题型:013

设平面α∥平面β,直线aα,点b∈β,则在β内过点b的所有直线中

[  ]

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

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科目:高中数学 来源: 题型:

设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则…(    )

A.直线a必垂直于平面β                     B.直线b必垂直于平面α

C.直线a不一定垂直于平面β               D.过a的平面与过b的平面垂直

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平面α ∩平面β=l,点A∈α,点B∈α,且点C∈β,点Cl.又AB∩l=R,如图所示,设A、B、C三点确定的平面为γ,则β∩γ是(    )

A.直线AC                          B.直线BC

C.直线CR                          D.以上均错

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科目:高中数学 来源: 题型:

设平面α∩平面β=l,点A、B∈平面α,点C∈平面β,且点A、B、C均不在直线l上,给出四个命题:

α⊥β;

平面α⊥平面ABC;

l⊥平面ABC;

④AB∥ll∥平面ABC.

其中正确的命题是(    )

A.①②                B.②③               C.①③               D.②④

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