Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e，长轴两个顶点分别为A，B．若C上有一点P，使得∠APB=120°，则离心率e的范围为$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 利用椭圆的对称性，判断P的位置，求出离心率，以及椭圆分离心率，推出结果．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e，长轴两个顶点分别为A，B．若C上有一点P，使得∠APB=120°，由椭圆的对称性可知P在椭圆的上顶点时，∠APB最大，
此时∠OPA=60°，$\frac{a}{b}≥tan60°=\sqrt{3}$，可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≥\frac{2}{3}$，e=$\frac{c}{a}$$≥\frac{\sqrt{6}}{3}$，e∈（0，1），
∴离心率e的范围为：$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．
故答案为：$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

点评 本题考查三角函数和椭圆的简单几何性质等知识点，考查数形结合的数学思想，属于中档题．