Question

如图，假设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面4个条件：
①AC⊥β；
②AC与α、β所成的角相等；
③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；
④AC∥EF．
其中能成为增加条件的是

①③

．（把你认为正确的条件的序号都填上）

Answer 1

分析：假设BD⊥EF，由条件AB⊥α，CD⊥α得AB⊥EF，CD⊥EF，则只需证明EF⊥面ABDC即可．

解答：解：①若AC⊥β，则AC⊥EF，由AB⊥α的AB⊥EF，因为AB∩AC=A，所以EF⊥面ABDC，所以BD⊥EF．正确．
②当AC∥EF时，满足AC与α、β所成的角相等，但此时无法得到EF⊥面ABDC，所以错误．
③因为AB⊥α，CD⊥α所以AB∥CD．若AC与BD在β内的射影在同一条直线上；则必有面ABDC⊥β，所以EF⊥面ABDC成立．
④若AC∥EF，则AC∥β，且AC∥α，所以AC∥BD，从而EF∥BD，所以④错误．
故答案为：①③．

点评：本题主要考查线面垂直的判断和性质，利用线面垂直的判定定理和性质定理是解决本题的关键．