Question

18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，-1≤x＜0}\\{{x}^{2}，0≤x＜1}\end{array}\right.$，且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{1}{x-2}$．则方程f（x）=g（x）在区间[-3，7]上的所有实数根之和最接近下列哪个数（　　）

• A． 10
• B． 8
• C． 7
• D． 6

Answer 1

分析 由f（x+2）=f（x），得到函数是周期为2的周期函数，分别作出函数f（x），g（x）在[-3，7]上的图象，利用图象观察交点的个数和规律，然后进行求解．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵g（x）=$\frac{1}{x-2}$，∴g（x）关于直线x=2对称．
分别作出函数f（x），g（x）在[-3，7]上的图象，
由图象可知两个函数的交点个数为6个，设6个交点的横坐标从小到大为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，
且这6个交点接近点（2，0）对称，
则$\frac{1}{2}$（x₁+x₆）=2，x₁+x₆=4，
所以x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3（x₁+x₆）=3×4=12，
其中x=3时，不成立，则f（x）=g（x）在区间[-3，7]上的所有实根之和为12-3=9，
由图象可知，x₁+x₆＞4，x₂+x₅＞4，x₄＞1，
∴x₁+x₂+x₄+x₅+x₆＞9．
故选A．

点评 本题主要考查函数交点个数和取值的判断，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．本题综合性较强，难度较大．