【题目】设函数, .
(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;
(2)设,点是曲线与的一个交点,且这两曲线在点处的切线互相垂直,证明:存在唯一的实数满足题意,且.
【答案】(1) ;(2)见解析。;
【解析】【试题分析】(1)求导后令导数大于或等于零,然后分离参数,利用恒成立可求得的取值范围.(2)将两条切线相互垂直转化为在点的导数乘积为,结合切点坐标可求得切点横坐标所满足的一个等式,通过分类讨论可得存在唯一实数满足题意.
【试题解析】
(1)解:由题意知,所以,
由题意, ,即对恒成立,
又当时, ,所以.
(2)证明:因为, ,
所以,即.①
又点是曲线与的一个交点,所以.②
由①②消去,得.
(ⅰ)当时,因为.所以,且,此与②式矛盾.
所以在上没有适合题意.
(ⅱ)当时,设, .
则,即函数在上单调递增,
所以函数在上至多有一个零点.
因为, ,
且的图象在上不间断,所以函数在有唯一零点.
即只有唯一的,使得成立,且.
综上所述,存在唯一的,且.
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【题目】己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数,且为常数)
(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知x∈(0, ),则函数f(x)=sinxtanx+cosxcotx的值域为( )
A.[1,2)
B.[ ,+∞)
C.(1, ]
D.[1,+∞)
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【题目】某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93,下列说法正确的是( )
A.这种抽样方法是一种分层抽样
B.这种抽样方法是一种系统抽样
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,且底面与侧面垂直, , 分别为线段的中点, , , ,且.
(1)证明: 平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
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【题目】目前北方空气污染越来越严重,某大学组织学生参加环保知识竞赛,从参加学生中抽取40名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图,若从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,则他们在同一分数段的概率为_______.
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【题目】在去年的足球甲联赛上,一队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准差为1.1;二队每场比赛平均失球数是2.1,全年失球个数的标准差是0.4,你认为下列说法中正确的个数有( )
①平均来说一队比二队防守技术好;②二队比一队防守技术水平更稳定;③一队防守有时表现很差,有时表现又非常好;④二队很少不失球.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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