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【题目】设函数 .

(1)若函数上单调递增,求的取值范围;

(2)设,点是曲线的一个交点,且这两曲线在点处的切线互相垂直,证明:存在唯一的实数满足题意,且.

【答案】(1) ;(2)见解析。;

【解析】【试题分析】(1)求导后令导数大于或等于零,然后分离参数,利用恒成立可求得的取值范围.(2)将两条切线相互垂直转化为在点的导数乘积为,结合切点坐标可求得切点横坐标所满足的一个等式,通过分类讨论可得存在唯一实数满足题意.

【试题解析】

(1)解:由题意知,所以

由题意, ,即恒成立,

又当时, ,所以.

(2)证明:因为 ,

所以,即.①

又点是曲线的一个交点,所以.②

由①②消去,得.

(ⅰ)当时,因为.所以,且,此与②式矛盾.

所以在上没有适合题意.

(ⅱ)当时,设 .

,即函数上单调递增,

所以函数上至多有一个零点.

因为

的图象在上不间断,所以函数有唯一零点.

即只有唯一的,使得成立,且.

综上所述,存在唯一的,且.

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