Question

已知函数f（x）=

lnx

x

（其中e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=x²f（x）-mx，其中m∈R，求g（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求函数f（x）=

lnx

x

的定义域（0，+∞），再求导f′（x）=

1-lnx

x2

，从而判断单调性及极值；
（2）化简g（x）=x²f（x）-mx=xlnx-mx，从而得到g′（x）=lnx+1-m；从而讨论导数的正负以确定函数的单调性，从而求最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

lnx

x

的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
x∈（0，e）时，f′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，
故f（x）在x=e上有极大值f（e）=

1

e

；
（2）g（x）=x²f（x）-mx=xlnx-mx；
g′（x）=lnx+x•

1

x

-m=lnx+1-m；
若1-m≤-1，即m≥2时，
当x∈[1，e]时，g′（x）≤0；
故g（x）在[1，e]上是减函数，
故g_min（x）=g（e）=e-me；
若-1＜1-m＜0，即1＜m＜2时，
当x∈[1，e^m-1]时，g′（x）≤0，当x∈[e^m-1，e]时，g′（x）＞0；
故g（x）在x=e^m-1处取得最小值g_min（x）=g（e^m-1）=-e^m-1；
若1-m≥0，即m≤1时，
当x∈[1，e]时，g′（x）≥0；
故g（x）在[1，e]上是增函数，
故g_min（x）=g（1）=-m；
故g（x）在区间[1，e]上的最小值为
g_min（x）=

e-me，m≥2 -em-1，1＜m＜2 -m，m≤1

．

点评：本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，属于中档题．