Question

【题目】设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．

详解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，

由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，

∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），

∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，

∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，

当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，

直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，

故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1

故选：D．