Question

已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．
（Ⅰ）求证：（

a2

x

+

b2

y

）（x+y）≥（a+b）²，并指出“=”成立的条件；
（Ⅱ）求函数f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

（0＜x＜

1

3

）的最小值，并指出取最小值时x的值．

Answer 1

分析：（I）先将（

a2

x

+

b2

y

）（x+y）=a²+

ya2

x

+

xb2

y

+b²=a²+b²+（

ya2

x

+

xb2

y

），利用基本不等式a²+b²≥2ab，即可证得结论；
（II）利用（I）的结论，将函数f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

变形为f（x）═（

9

3x2

+

9

1-3x2

）（3x²+1-3x²）
即可解决问题．

解答：解：（Ⅰ）∵（

a2

x

+

b2

y

）（x+y）=a²+

ya2

x

+

xb2

y

+b²=a²+b²+（

ya2

x

+

xb2

y

）
≥a²+b²+2

ya2 x • xb2 y

=a²+b²+ab=（a+b）²，当且仅当ay=bx时取等号．

（II）∵f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

=

9

3x2

+

9

1-3x2

=（

9

3x2

+

9

1-3x2

）（3x²+1-3x²）
由（I）知，上式≥（3+3）²=36，当且仅当3x²=1-3x²即x²=

1

6

时等号成立，
∴函数f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

（0＜x＜

1

3

）的最小值36，取最小值时x的值为

6

6

．

点评：本题考查不等式的应用，另外给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．