Question

在△ABC中，记∠BAC=x（角的单位是弧度制），△ABC的面积为S，且

AB

•

AC

=8，4≤S≤4

3

．
（1）求x的取值范围；
（2）就（1）中x的取值范围，求函数f(x)=2

3

sin2(x+

π

4

)+2cos2x-

3

的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形面积公式，退席已知中

AB

•

AC

=8，4≤S≤4

3

，我们易确定tanx的范围，结合x为三角形的内角，我们易求出x的取值范围；
（2）结合（1）的结论，利用降幂公式和辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质即可得到答案．

解答：解：（1）∵∠BAC=x，

AC

•

AB

=8，4≤S≤4

3

，
又S=

1

2

bcsinx，
∴bccosx=8，S=4tanx，即1≤tanx≤

3

．（4分）
∴所求的x的取值范围是

π

4

≤x≤

π

3

．（7分）
（2）∵

π

4

≤x≤

π

3

，f(x)=2

3

sin2(x+

π

4

)+2cos2x-

3

= 3 sin2x+cos2x+1 =2sin(2x+ π 6 )+1，

（9分）
∴

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

．（11分）
∴f(x)min=f(

π

3

)=2，f(x)max=f(

π

4

)=

3

+1．（14分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据平面向量数理积的含义及三角形面积结合正切函数的性质，求出X的取值范围是解答本题的关键．