Question

已知动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到定直线l：y=-1的距离．点Q（0，-1）．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点Q作轨迹C的切线，若切点A在第一象限，求切线m的方程；
（Ⅲ）过N（0，2）作倾斜角为60°的一条直线与C交于A、B两点，求AB弦长．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义即可得出．
（2）利用导数的几何意义可得切线的斜率，再利用点斜式即可得出；
（3）把直线AB 的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．

解答：解：（1）∴动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到定直线l：y=-1的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，
设x²=2py，则

p

2

=1，解得p=2．
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（2）设切点A(x0，

x 2 0

4

)（x₀＞0），
∵y′=

1

2

x，∴抛物线在切点A处的切线的斜率为

x0

2

．
因此所求的切线方程为y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)，即y=

x0

2

x-

x 2 0

4

．
∵点Q（0，-1）在切线上，
∴-1=-

x 2 0

4

，又x₀＞0，解得x₀=2．
故所求切线方程为y=x-1．                    
（3）直线AB的方程为y=

3

x+2．
联立

x2=4y y= 3 x+2

得：x2-4

3

x-8=0，
∴x1+x2=4

3

，x₁x₂=-8．
∴|AB|=

[1+( 3 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

4[(4 3 )2-4×(-8)]

=8

5

．

点评：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、导数的几何意义、点斜式等基础知识与基本技能方法，属于难题．