Question

15．已知f（x）=x²-4x+3，x∈[t，t+1]（t∈R），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 先分析函数f（x）=x²-4x+3的图象和性质，进而分类讨论给定区间与对称轴的关系，进而得到函数在给定区间上的单调性，进而可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=x²-4x+3的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，
当t+1≤2，即t≤1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上为减函数，此时当x=t+1时，函数取最小值t²-2t，
当t＜2＜t+1，即1＜t＜2时，函数f（x）在区间[t，2]上为减函数，在区间[2，t+1]上为增函数，此时当x=2时，函数取最小值-1，
当t≥2时，函数f（x）在区间[t，t+1]上为增函数，此时当x=t时，函数取最小值t²-4t+3．
故f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-2t，t≤1\\-1，1＜t＜2\\{t}^{2}-4t+3，t≥2\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．