Question

设正数数列{a_n} 的前n项和为 S_n，且对任意的n∈N^*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整数m，使得不等式S_n-1005＞对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，∵S_n是a_n²和a_n的等差中项，∴2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0．
当n=1时，2a₁=a₁²+a₁，解得a₁=1．
当n≥2时，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．
于是2S_n-2S_n-1=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，即2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，
∴a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，∴S_n-1005＞，得，∴＞1005，∴n＞2010．
由题设，M={2010，2012，…，2998}，
因为m∈M，所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中满足条件的正整数m共有495个，满足条件的最小正整数m的值为2010．
分析：（1）根据S_n是a_n²和a_n的等差中项，可得2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0，再写一式，当n≥2时，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，两式相减，化简可得a_n-a_n-1=1（n≥2），所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，故求数列{a_n} 的通项公式；
（2）利用S_n-1005＞，求得n＞2010，从而M={2010，2012，…，2998}，这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列，由此可得集合M中满足条件的正整数m的个数．
点评：本题主要考查等差数列的性质，特别是等差数列的通项公式，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．