Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线OC与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点M到平面OCD的距离．

Answer 1

解：（Ⅰ）设线段AC的中点为E，连接ME，
则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角）
由已知，可得DE=，EM=，MD=，
∵
∴△DEM为直角三角形
∴tan∠EMD==，
∴∠EMD=arctan
所以异面直线OC与MD所成角的大小arctan
（Ⅱ）作MF⊥OD于F，
∵OA⊥CD且AD⊥CD，
∴CD⊥平面ADO
∴CD⊥MF
∴MF⊥平面OCD
所以点M到平面OCD的距离ME=
分析：（Ⅰ）求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，做出角，再求出角．
（Ⅱ）可以先转化，当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离．
点评：本题主要考查直线与直线的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法解决立体几何问题的能力．