已知抛物线y2=4ax的焦点为F.以A为圆心.|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N.设P为线段MN的中点. (Ⅰ)求|MF|+|NF|的值, (Ⅱ)是否存在这样的a值.使|MF|.|PF|.|NF|成等差数列?如存在.求出a的值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知抛物线y²=4ax(0＜a＜1)的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点，

(Ⅰ)求｜MF｜+｜NF｜的值；

(Ⅱ)是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，

(1) 8 (2)不存在

解析:

(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］²+y²=16(y≥0)，设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，则｜MF｜+｜NF｜=x₁+x₂+2a=2(4-a)+2a=8

(2)若｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等成数列，则有2｜PF｜=｜MF｜+｜NF｜,另一方面，设M、P、N在抛物线的准线上的射影为M′、P′、N′，则在直角梯形M′MNN′中，P′P是中位线，又有2｜P′P｜=｜M′M｜+｜N′N｜=｜MF｜+｜FN｜,因而｜PF｜=｜P′P｜,∴P点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.

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，过抛物线C₁的焦点F作倾斜角为

的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C₁于一点Q（点Q在x轴下方）．
（Ⅰ）求点P和Q的坐标；
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