Question

不等式组

x≥0 x+y≤3 y≥x+1

，表示的平面区域为Ω，直线y=kx+1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．因为直线y=kx+1经过定点A（0，1），所以当直线y=kx+1与区域有公共点时，直线的位置应界于AB、AC之间，由此算出直线AC的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围．

解答： 解：作出不等式组

x≥0 x+y≤3 y≥x+1

，表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω

其中A（0，1），B（0，3），C（1，2）
∵直线y=kx+1经过定点A（0，1），
∴当直线y=kx+1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AB、AC之间（含边界）
∵直线AC的斜率k=1，∴直线y=kx+1斜率的最小值为1，可得实数k的取值范围为[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题给出平面区域Ω与直线y=kx+1必定有公共点，求实数k的取值范围，着重考查了直线的斜率公式和简单线性规划等知识，属于基础题．