Question

已知f(x)＝x³＋mx²－x＋2(m∈R)

如果函数的单调减区间恰为(－，1)，求函数f(x)的解析式；

(2)若f(x)的导函数为f '(x)，对任意x∈(0，＋∞)，不等式f '(x)≥2xlnx－1恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)＝x³－x²－x＋2

       （2）m的取值范围是[ln2－ln3e，＋∞).

解析:

(1)f '(x)＝3x²＋2mx－1，

由题意，f '(x)＝3x²＋2mx－1＜0的解集是(－，1)，

即3x²＋2mx－1＝0的两根分别为－，1，将x＝1或－代入方程3x²＋2mx－1＝0得m＝－1，

∴f(x)＝x³－x²－x＋2，

(2)由题意知3x²＋2mx－1≥2xlnx－1在x∈(0，＋∞)恒成立，

即m≥lnx－x在x∈(0，＋∞)恒成立，

设h(x)＝lnx－x，则h'(x)＝－，

令h'(x)＝0得x＝，

当0＜x＜时，h'(x)＞0；当x＞时，h'(x)＜0，

∴当x＝时，h(x)取得最大值为ln－1＝ln2－ln3e，

表明m≥ln2－ln3e，

因此m的取值范围是[ln2－ln3e，＋∞).