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已知f(x)=x3mx2x+2(mR)

如果函数的单调减区间恰为(-,1),求函数f(x)的解析式;

(2)若f(x)的导函数为f '(x),对任意x∈(0,+∞),不等式f '(x)≥2xlnx-1恒成立,求实数m的取值范围.

(1)f(x)=x3x2x+2

       (2)m的取值范围是[ln2-ln3e,+∞).


解析:

(1)f '(x)=3x2+2mx-1,

由题意,f '(x)=3x2+2mx-1<0的解集是(-,1),

即3x2+2mx-1=0的两根分别为-,1,将x=1或-代入方程3x2+2mx-1=0得m=-1,

f(x)=x3x2x+2,

(2)由题意知3x2+2mx-1≥2xlnx-1在x∈(0,+∞)恒成立,

mlnxxx∈(0,+∞)恒成立,

h(x)=lnxx,则h'(x)=

h'(x)=0得x

当0<x时,h'(x)>0;当x时,h'(x)<0,

∴当x时,h(x)取得最大值为ln-1=ln2-ln3e

表明mln2-ln3e

因此m的取值范围是[ln2-ln3e,+∞).

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