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    对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”；若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．

    (1)求证；

    (2)若f(x)＝ax2－1(a∈R，x∈R)，且，求实数a的取值范围；

    (3)若f(x)是R上的单调递增函数，x0是函数的稳定点，问x0是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)若，则显然成立；　2分

    　　若，设，有，则，故　4分

    　　(2)因为所以方程有实根

    　　　解得　5分

    　　又所以即的左边有因式从而有　7分

    　　∵A＝B，∴方程要么没有实根，要么实根是方程的根．若方程没有实根，则，由此解得；　9分

    　　若方程有实根且实根是方程的根，则由方程得代入有．由此解得再代入得，由此解得　11分

    　　∴a的取值范围是　12分

    　　(3)由题意是函数的稳定点则设是R的单调增函数，则所以，矛盾．　14分

    　　若是R的单调增函数，则所以，矛盾．故．所以是函数的不动点．　16分


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （08年黄冈中学一模理） (本小题满分14分)对于函数f(x)，若存在，使成立，则称x0为f(x)的不动点. 如果函数有且仅有两个不动点0，2，且

    （1）试求函数f(x)的单调区间；

    （2）已知各项不为零且不为1的数列{an}满足，求证：；

    （3）设，为数列{bn}的前n项和，求证：

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    科目：高中数学 来源： 题型：

           对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点  已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

    （1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

    （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

    （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数

    f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有两个相异的不动点x1，x2．

    ⑴若x1<1<x2，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证：<m<1；

    ⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷（解析版） 题型：填空题

    对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“布林函数”，区间[a，b]称为函数f(x)的“等域区间”.

    （1）布林函数的等域区间是         .

    （2）若函数是布林函数，则实数k的取值范围是           .

     

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    科目：高中数学 来源：2014届湖南省华容县高一第一学期期末考试数学试卷 题型：解答题

    (本小题满分6分）对于函数f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋bx-b有不动点(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

     

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