Question

3．已知函数f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x
（1）求函数的最小正周期．
（2）求出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
（3）关于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有两个解x₁，x₂时，求x₁+x₂．

Answer 1

分析 （1）先根据二倍角公式，化简f（x），再根据最小正周期的定义求出即可，
（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出单调递增区间，
（3）利用数形结合得到x₁+x₂为对称轴的二倍，根据三角函数的性质求出对称轴即可．

解答 解：（1）f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+2$\sqrt{3}$sinxcosx=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴函数的最小正周期为π，
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
当k=0时，-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
当k=1时，$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{4π}{3}$，
∴函数在[0，π]上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{5π}{6}$，π]．
（3）画出函数f（x）的图象，如图所示
x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有两个解x₁，x₂时，
则方程的解位于对称轴两侧，
∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的对称轴为2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
当k=0时，x=$\frac{π}{3}$，
当k=1时，x=$\frac{5π}{6}$，
∴x₁+x₂=2x=$\frac{2π}{3}$，或x₁+x₂=2x=$\frac{5π}{3}$．

点评 本题考查三角函数的化简以及正弦函数的图象和性质，培养了学生的运算能力，属于中档题．