Question

已知函数f（x）=ax²+4x-2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求实数a的取值范围；
（2）试讨论函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数；
（3）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=ax²+4x-2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，我们可以构造关于a的不等式-

a

4

(x1-x2)2＜0，进而求出实数a的取值范围；
（2）结合（1）的结论，可得方程f（x）=ax²+4x-2=0必有两个实根，结合f（0）=-2恒成立，利用零点存在定理，分类讨论a取不同值时，f（-1）与f（1）的值，即可判断出函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数；
（3）由（1）中结论可得函数f（x）=ax²+4x-2满足f（0）=-2，对称轴x=-

2

a

＜0，我们分当-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2时，和当-2-

4

a

≥-4，即a≥2时两种情况分别讨论M（a）的最小值，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，4分
又∵x₁≠x₂，∴必有a＞0，∴实数a的取值范围是（0，+∞）． 2分
（2）△=16+8a，由（1）知：a＞0，所以△＞0． 由 a＞0，f（1）=a+2＞0
①当0＜a＜6时，总有f（-1）＜0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，
故0＜a＜6时，f（x）在[-1，1]上有一个零点； 2分
②当a＞6时，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4-2＞0

，即a＞6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点；2分
③当a=6时，有f（-1）=0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，故a=6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点．
综上：0＜a＜6时，f（x）在[-1，1]上有一个零点；a≥6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点． 2分
（3）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
显然f（0）=-2，对称轴x=-

2

a

＜0．
①当-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，
此时M（a）取较大的根，即M(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

，
∵0＜a＜2，∴M(a)=

-2

4-2a +2

＞-1． 2分
②当-2-

4

a

≥-4，即a≥2时，M(a)＜-

2

a

，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得x=

-2± 4+6a

a

，
此时M（a）取较小的根，即M(a)=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a +2

，
∵a≥2，∴M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3． 当且仅当a=2时，取等号． 3分
∵-3＜-1，∴当a=2时，M（a）取得最小值-3． 1分．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的零点与方程根的关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中（1）的关键是得到不等式-

a

4

(x1-x2)2＜0，（2）的关键是将方程根的个数转化为函数零点的个数，（3）的关键是结合二次函数的图象和性质对a的取值进行分类讨论．