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已知函数f(x)=(a+1)x2+4ax-3.
(Ⅰ)当a>0时,若方程f(x)=0有一根大于1,一根小于1,求a的取值范围;
(Ⅱ)当x∈[0,2]时,在x=2时取得最大值,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)由a>0可知函数的二次项系数大于0,若方程f(x)=0有一根大于1,一根小于1,所以只需f(1)<0即可;
(Ⅱ)分二次项系数a+1=0,a+1>0,a+1<0三种情况讨论,当a+1=0是显然不满足题意,当二次项系数大于0时,需要对称轴为直线x=1或在其左侧,当二次项系数小于0时需对称轴在直线x=2或其右侧,求解后取并集即可得到答案.
解答:解:(1)当a>0时,a+1>0,故抛物线y=f(x)开口向上,
而△=(4a)2+12(a+1)=4(4a2+3a+3)>0,
则抛物线y=f(x)与x轴总有两个交点,要方程f(x)=0有一根大于1,一根小于1,
则有
a>0
f(1)<0
⇒0<a<
2
5

(2)若a+1=0,即a=-1时,则f(x)=-4x-3,不在x=2时取得最大值,
若a+1>0,即a>-1时,则-
2a
a+1
≤1,解得a≥-
1
3

若a+1<0,即a<-1时,则-
2a
a+1
≥2,解得a≥-
1
2
,与a<-1矛盾.
综上可得a的取值范围是a≥-
1
3
点评:本题考查了二次函数的性质,考查了二次函数在闭区间上的最值,解答的关键是借助于二次函数的对称轴和端点值之间的关系,是中档题.
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π
4
)
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π
6
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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
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A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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