Question

（2007•长宁区一模）定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+4x+2的图象上，其中n为正整数．
（1）判断数列{a_n+2}是否为“平方递推数列”？说明理由．
（2）证明数列{lg（a_n+2）}为等比数列，并求数列{a_n}的通项．
（3）设T_n=（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n），求T_n关于n的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+4x+2的图象上，可以得到数列{a_n}的递推关系式，再应用完全平方公式，就可得到数列{a_n+2}的递推关系式，根据数列{a_n+2}的递推关系式，可判断是否为“平方递推数列”．
（2）欲证明数列{lg（a_n+2）}为等比数列，只需证明此数列的后一项与前一项的比是常数，由（1）所得
a_n+1+2=（a_n+2）²，两边取常用对数，即可证明．再利用等比数列通项公式求出数列{lg（a_n+2）}的通项公式，进而得到数列{a_n}的通项公式．
（3）由（2）可求数列{lg（a_n+2）}的通项公式，求出数列{lg（a_n+2）}的前n项和，再借助对数函数的运算律，求出lgT_n，把等式两边的对数符号去掉，即可得到T_n关于n的表达式．

解答：解：（1）由条件得：a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1+2=a_n²+4a_n+4=（a_n+2）²，∴{a_n+2}是“平方递推数列”．
（2）由（1）得lg(an+1+2)=2lg(an+2)∴

lg(an+1+2)

lg(an+2)

=2，
∴{lg（a_n+2）}为等比数列．                                         
∵lg（a₁+2）=lg4，∴lg（a_n+2）=lg4•2^n-1，∴an+2=42n-1
∴an=42n-1-2．                                     
（3）∵lgTn=lg(a1+2)+lg(a2+2)+…+lg(an+2)=

lg4•(1-2n)

1-2

=(2n-1)lg4，
∴Tn=42n-1．

点评：本题主要考查了构造法判断数列的性质以及求数列的通项公式，求和．属于数列的综合题．