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已知在正项数列{an}中,Sn表示数列{an}前n项和且Sn=
1
4
an2+
1
2
an+
1
4
,n∈N+,数列{bn}满足bn=
1
4Sn-1
,Tn为数列{bn}的前n项和.
(I) 求an,Sn
(Ⅱ)是否存在最大的整数t,使得对任意的正整数n均有Tn
t
36
总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
考点:数列与不等式的综合
专题:
分析:(Ⅰ)由条件再写一式,两式相减,从而数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,由此能求出an,Sn
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=
1
4Sn-1
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
,由此能求出t=11符合题意.
解答: 解:(Ⅰ)∵Sn=
1
4
an2+
1
2
an+
1
4
,∴当n=1时,S1=a1=
1
4
a12+
1
2
a1+
1
4
a1=1
,…(1分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(
1
4
an2+
1
2
an+
1
4
)-(
1
4
a
 
2
n-1
+
1
2
an-1+
1
4
)

整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0…(3分)
∵数列{an}各项为正,
∴an+an-1>0…(4分)
∴an-an-1=2…(5分)
∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列
∴an=a1+(n-1)×2=2n-1.…(6分)
∴Sn=
n[1+(2n-1)]
2
=n2…(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=
1
4Sn-1
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
)  …(8分)
于是Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
…(10分)
易知数列{Tn}是递增数列,故T1=
1
3
是最小值,…(12分)
所以只需
1
3
t
36
,即t<12,因此存在t=11符合题意.…(14分)
点评:本题考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.
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A、
B、
C、
D、

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x-y
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1
5
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1
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1
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A、0≤a≤
1
2
B、a≥0
C、a≥
1
2
D、a≥-
15
2

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A、f(
2
)<f(2)<f(3)
B、f(2)<f(3)<f(
2
C、f(3)<f(2)<f(
2
D、f(3)<f(
2
)<f(2)

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