Question

对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），如果存在实数m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x）、g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+x和g（x）=x+2生成一个偶函数h（x），求h（）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）如果给定实系数基函数f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），问：任意一个一次函数h（x）是否都可以由它们生成？请给出你的结论并说明理由．

Answer 1

解：（1）设h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx² +（m+n）x+2n，
∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（）=2m+2n=0．
（2）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb，
∴，解得，
∴a+2b=-=--．
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈（-∞，-）∪（，+∞）．
（3）如果给定实系数基函数f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），则任意一个一次函数h（x）都可以由它们生成．
证明：设任意一个一次函数h（x）=kx+h，且k≠0，
假设h（x）=mf（x）+ng（x），则有 kx+h=mk₁x+mb₁ +nk₂x+nb₂，解得 m=，n=．
这说明，无论给任何一个一次函数 h（x）=kx+b，都可以用基函数f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0）来表示，问题得证．
分析：（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．
（2）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b的取值范围；
（3）设任意一个一次函数h（x）=kx+h，且k≠0，假设h（x）=mf（x）+ng（x），解得 m=，n=，从而可得问题的结论是肯定的．
点评：本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题，属于中档题．