Question

对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于两点，则数列的前项和公式是××××× .

Answer 1

分析：设A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，求出 ? 的表达式，然后利用韦达定理代入得? =-4n²-4n，故可得 =-2n，据此可得数列的前n项和．
解：设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，
设A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），
则? =x_n1x_n2+y_n1y_n2=(t²+1)y_n1y_n2+2nt(y_n1+y_n2)+4n²，
用韦达定理代入得? =-4n(2n+1)(t²+1)+4n(2n+1)t²+4n²=-4n²-4n，
故=-2n，
故数列的前n项和-n（n+1），
故答案为-n（n+1）．