已知函数,.
(I)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,函数恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设正实数满足,求证:.
当时,只有单调递增区间;当时,单调递增区间为,,单调递减区间为.;详见解析.
【解析】
试题分析:先求出的导数,讨论,利用导数的正负与函数单调性得关系求出单调区间;当x>1时,函数f(x)>g(x)恒成立转化为>0恒成立.结合第问讨论的单调区间得出的范围;结合第问,令,,所以,再利用柯西不等式,,其中由条件.最后得证.
试题解析:(Ⅰ)易知,定义域是.
1分
由的判别式
①当即时,恒成立,则在单调递增 2分
②当时,在恒成立,则在单调递增 3分
③当时,方程的两正根为
则在单调递增,单调递减,单调递增
综上,当时,只有单调递增区间
当时,单调递增区间为,
单调递减区间为 5分
(Ⅱ)即时,恒成立
当时,在单调递增 ∴当时,满足条件 7分
当时,在单调递减
则在单调递减
此时不满足条件
故实数的取值范围为 9分
(Ⅲ)由(2)知,在恒成立
令 则 10分
∴ 11分
又
其中
∴ 13分
∴ 14分
考点:1.函数的求导;2.利用导数求函数单调性;3.柯西不等式.
科目:高中数学 来源:2012届丹东市四校协作体高三摸底测试数学(零诊) (文) 题型:解答题
(本小题满分12分)已知函数.
(I)当时,若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(II)若,,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切,求和的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省临沂市临沭县高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北省荆州市高三(上)12月质量检查数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com