Question

（2011•江苏模拟）已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²，化简可得a，b间满足的等量关系．
（2）由于 PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

，利用二次函数的性质求出它的最小值．
（3）设⊙P 的半径为R，可得|R-1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=

a2+b2

的最小值为

3 5

5

，此时，求得b=-2a+3=

3

5

，R取得最小值为

3 5

5

-1，从而得到圆的标准方程．

解答：解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知PQ=PA，可得 PQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²．
花简可得 2a+b-3=0．
（2）∵PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故当a=

6

5

时，线段PQ取得最小值为

2 5

5

．
（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R-1|≤PO≤R+1．
而OP=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，故当a=

6

5

时，PO取得最小值为

3 5

5

，
此时，b=-2a+3=

3

5

，R取得最小值为

3 5

5

-1．
故半径最小时⊙P 的方程为 (x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3 5

5

-1)2．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式以及二次函数的性质应用，属于中档题．