Question

直线l：（m+1）x+2y-2m-2=0（m∈R）恒过定点C，以C为圆疏，2为半径作圆C，
（1）求圆C方程；
（2）设点C关于y轴的对称点为C¹，动点M在曲线E上，在△MCC'中，满足∠C¹MC=2θ，△MCC'的面积为4tanθ，求曲线E的方程；
（3）点P在（2）中的曲线E上，过点P做圆C的两条切线，切点为Q、R，求

PQ•

PR

的最小值．

Answer 1

分析：（1）设C（x，y），则（m+1）x+2y-2m-2=m（x-2）+x+2y-2=0（m∈R）恒成立，所以C（2，0）．由此能求出圆C的方程．
（2）由题可知C'（-2，0），|CC'|=4，∠C'MC=2θ．在△MCC'中，设|MC'|=m，|MC|=n，由余弦定理可知m²+n²-2mncos2θ=16．因为

1

2

mnsin2θ=4tanθ，所以cos2θ=

4

mn

．由此能求出E的方程．
（3）设∠QPR=2a，则sina=

2

|PC|

PQ

•

PR

=|PQ|2cos2a=(|PC|2-4)(1-2×

4

|PC|2

)=|PC|2+

32

|PC|2

-12≥8

2

-12．由此能求出

PQ

•

PR

的最小值．

解答：解：（1）设C（x，y），则（m+1）x+2y-2m-2=m（x-2）+x+2y-2=0（m∈R）
恒成立所以x=2，y=0，
即C（2，0）…（2分）
所以圆C的方程为（x-2）²+y²=4…（3分）
（2）由题可知C'（-2，0），
|CC'|=4，∠C'MC=2θ
在△MCC'中，设|MC'|=m，|MC|=n
所以，由余弦定理可知m²+n²-2mncos2θ=16①…（4分）
又因为

1

2

mnsin2θ=4tanθ，
所以cos2θ=

4

mn

②…（5分）
由①②得m2+n2-2mn(2×

4

mn

-1)=16
整理得m+n=4

2

，即|MC′|+|MC|=4

2

＞4…（6分）
故点M在以C，C'为焦点的椭圆上
所以E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1(y=0)…（8分）
注：不写明（y=0）扣（1分）
（3）设∠QPR=2a，则sina=

2

|PC|

PQ

•

PR

=|PQ|2cos2a=(|PC|2-4)(1-2×

4

|PC|2

)…（10分）
=|PC|2+

32

|PC|2

-12≥8

2

-12
当且仅当|PC|=24

2

时等号成立，
又24

2

∈0，2+2

2

)
所以

PQ

•

PR

得最小值为8

2

-12…（12分）

点评：本题考查圆的方程和曲线方程的求法，求

PQ

•

PR

的最小值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，利用圆锥曲线的性质，合理地进行等价转化．