Question

11．已知数列{a_n}为等差数列，且$\frac{3}{2}$，3，a₄，a₁₀成等比数列．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求数列{$\frac{2}{{a}_{n}（{a}_{n}+n）}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{3}{2}$，3，a₄，a₁₀成等比数列．可得公比为2．再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\frac{2}{{a}_{n}（{a}_{n}+n）}$=$\frac{2}{（n+2）（2n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{3}{2}$，3，a₄，a₁₀成等比数列．
∴公比为$\frac{3}{\frac{3}{2}}$=2．
∴a₄=$\frac{3}{2}$×2²=6，a₁₀=$\frac{3}{2}×{2}^{3}$=12．
设等差数列{a_n}的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+9d=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=1}\end{array}\right.$，
于是a_n=3+（n-1）=n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\frac{2}{{a}_{n}（{a}_{n}+n）}$=$\frac{2}{（n+2）（2n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
于是S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2n+4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．