Question

     已知f(x)=+a为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间.

Answer 1

(1)∵f(-x)=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f(x)，
由f(-x)=-f(x)，得-1+2a=0，∴a=.
(2)对于任意x₁≠0，x₂≠0，且x₁<x₂，
f(x₁)-f(x₂)=,
当x₁<x₂<0时，>，<1, <1,
∴f(x₁)-f(x₂)>0；
当0<x₁<x₂时，>，>1，>1,
∴f(x₁)-f(x₂)>0.
∴函数的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞).

 本题容易出现以下错误：
(1)误认为函数y=a^2x+2a^x-1在x∈［-1，1］上就是单调增函数，据此得x=1时函数有最大值14，列方程解出a.
(2)令t=a^x，x∈［-1，1］，不讨论0＜a＜1还是a＞1，就认为t的取值范围是［a^-1，a］，由此作为外层函数的定义域引出错误.