Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是C₁C、B₁C₁的中点．求证：MN∥平面A₁BD．

Answer 1

分析：分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设正方体的棱长等于2，算出

MN

=

1

2

DA1

，从而得到MN∥DA₁，结合线面平行的判定定理即可评出MN∥平面A₁BD．

解答：解：分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系
设正方体的棱长等于2，则
D（0，0，0），A₁（2，0，2），M（0，2，1），N（1，2，2）
∴

MN

=(1，0，1)，

DA 1

=(2，0，2)
可得

MN

=

1

2

DA1

，得到MN∥DA₁
∵MN?平面A₁BD，DA₁?平面A₁BD，
∴MN∥平面A₁BD．

点评：本题给出M、N分别正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱的中点，求证直线与平面平行．着重考查了正方体的性质、利用向量的方法证明线面平行和直线与平面平行的判定定理等知识，属于中档题．