Question

在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

（1）  求证：AD^BC

（2）  求二面角B－AC－D的大小

（3）  在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

解法一：（1）  方法一：作AH^面BCD于H，连DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

AB＝＝BC＝AC  BD^DC

又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DH^BCAD^BC

方法二：取BC的中点O，连AO、DO

则有AO^BC，DO^BC，BC^面AOD

BC^AD

（2）  作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝M是AC的中点，且MN¤¤CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

ÐBMN＝arccos

（3）  设E是所求的点，作EF^CH于F，连FD。则EF¤¤AH，EF^面BCD，ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，则ÐEDF＝30°。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，FD＝，tanÐEDF＝解得x＝，则CE＝＝1

故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角。

解法二：此题也可用空间向量求解，解答略