【题目】已知抛物线,为其焦点,抛物线的准线交轴于点T,直线l交抛物线于A,B两点。
(1)若O为坐标原点,直线l过抛物线焦点,且,求△AOB的面积;
(2)当直线l与坐标轴不垂直时,若点B关于x轴的对称点在直线AT上,证明直线l过定点,并求出该定点的坐标。
【答案】(1);(2)定点为
【解析】
(1)利用,求得直线的斜率为,由此写出直线方程,代入抛物线方程求得两点的坐标,从而求得,用点到直线的距离公式求出高,由此求得三角形的面积.(2)设出直线的方程为,联立直线方程和抛物线方程,写出韦达定理.根据点斜式得出直线的方程,将点的坐标代入,然后利用韦达定理化简,可求得和的关系式,由此求得直线所过定点的坐标.
设点,焦点坐标为,.
(1)因为,根据抛物线的定义可知,直线的斜率为.故直线的方程为,代入抛物线方程并化简得解得,代入直线方程得,所以.直线的一般式为,原点到直线的距离,故.
(2)直线过定点,理由如下:设直线的方程为代入抛物线方程并化简得,故.点关于轴的对称点为.根据点斜式,得到直线的方程为,将点坐标代入并化简得,将和的值代入并化简得,即,故直线的方程为,过定点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(理科)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校高三学生中,抽取3名学生,记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的数学期望.
独立性检验界值表:
(参考公式: ,其中)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在等差数列中, ,其前项和为,等比数列的各项均为正数, ,且, .
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,设数列的前项和为,求()的最大值与最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某果园基地培育出一种特色水果,要在某一季节内采摘一批这种水果销往A市,每售出1吨这种水果获利800元,未售出的水果每吨亏损400元,根据去年市场调研数据统计,该季节A市对这种水果的市场需求量t(单位:吨,100≤t≤150)的频率分布直方图如图所示.现该果园计划采摘140吨这种水果运往A市,经销这种水果的利润Q(单位:元)
(1)求Q关t的函数表达式;
(2)视频率为概率,求利润Q的分布列及数学期望.(每组数据以区间的中点值为代表).
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【题目】一个袋中有2个红球,4个白球.
(1)从中取出3个球,求取到红球个数的概率分布及数学期望;
(2)每次取1个球,取出后记录颜色并放回袋中.
①若取到第二次红球就停止试验,求第5次取球后试验停止的概率;
②取球4次,求取到红球个数的概率分布及数学期望.
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