练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知O是锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，若
    AO
    =x
    AB
    +y
    AC
    ，且2x+10y=5，则
    AB
    •
    AC
    =
    20
    20
    ．
    分析：分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，由三角形外接圆的性质得OD⊥AB且OE⊥AC，由此利用直角三角形中三角函数的定义和数量积的公式，算出
    AO
    •
    AB
    =
    1
    2
    |
    AB
    |2    =18且
    AO
    •
    AC
    =
    1
    2
    |
    AC
    |2    =50．最后在等式
    AO
    =x
    AB
    +y
    AC
    的两边分别与
    AB
    、
    AC
    作数量积，将得到的等式与2x+10y=5组成方程组联解，可得
    AB
    •
    AC
    的值．
    解答：解：分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，
    ∵O是锐角△ABC的外接圆的圆心，D、E分别为AB、AC的中点，
    ∴OD⊥AB，OE⊥AC．
    由此可得Rt△AOD中，cos∠OAD=
    |AD|
    |AO|
    =
    1
    2
    •
    |AB|
    |AO|
    ，
    ∴
    AO
    •
    AB
    =
    |AO|
    •
    |AB|
    cos∠OAD    =
    |AO|
    •
    |AB|
    •
    1
    2
    •
    |AB|
    |AO|
    =
    1
    2
    |
    AB
    |2    =18．
    同理可得
    AO
    •
    AC
    =
    1
    2
    |
    AC
    |2    =50．
    ∵
    AO
    =x
    AB
    +y
    AC
    ，
    ∴等式的两边都与
    AB
    作数量积，得
    AO
    •
    AB
    =x
    AB
    2+y
    AB
    •
    AC
    ，化简得18=36x+y
    AB
    •
    AC
    ，…①
    同理，等式的两边都与
    AC
    作数量积，化简得50=x
    AB
    •
    AC
    +100y，…②
    又∵根据题意知2x+10y=5，…③
    ∴①②③联解，可得
    AB
    •
    AC
    =20，x=
    1
    4
    且y=
    9
    20
    ．
    故答案为：20
    点评：本题着重考查了三角形外接圆的性质、锐角的三角函数在直角三角形中的定义、向量量的数量积公式和方程组的解法等知识，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•辽宁一模）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m
    AO
    ，则m=
    sinθ
    sinθ
    ．（用θ表示）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=
    π
    4
    ，其外接圆半径为R，若
    cosB
    c
    •
    AB
    +
    cosC
    b
    •
    AC
    =
    1
    2R
    m 
    AO
    ，则m=
    		2
    		2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，
    .
    AB
    		 
      
    .
    =16，
    .
    AC
    		 
      
    .
    =10
    		2
    ，若
    AO
    =x
    AB
    +y
    AC
    ，且32x+25y=25，则
    .
    AO
    		 
      
    .
    =
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，tanA=
    		2
    2
    ，若
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m
    AO
    ，则m=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案