Question

【题目】若函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x ， 则称f（x）为“e函数”．
（1）试判断f（x）=ex+x3是否为“e函数”，并说明理由；
（2）若f（x）为“e函数”且 ，
（ⅰ）求证：f（x）的零点在 上；
（ⅱ）求证：对任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣x）+f（x）=e﹣x﹣x3+ex+x3=ex+e﹣x，

∴f（x）为“e函数”

（2）证明：∵f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x①，

②

∴①+②得： ，∴ ．

（ⅰ）∵y=ex与 均为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上为赠函数，

又ex＞0，∴f（x）的唯一零点必在（0，+∞）上．

∵f（ ）= ﹣2= ﹣2＜0，f（2）=e2﹣ ＞0，

∴f（x）的唯一零点在（ ，2）上．

（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零点x0∈（ ，2），且f（x0）=0，

又f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＜0在（0，x0）上恒成立，

∴对任意a＞0，存在λ= ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立

【解析】（1）由f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x ， 可判断f（x）=ex+x3是“e函数”；（2）若f（x）为“e函数”且 ，（ⅰ）由于y=ex与 均为增函数，可知f（x）在（0，+∞）上为增函数，通过计算知f（ ）= ﹣2＜0，f（2）=e2﹣ ＞0，利用零点存在定理即可证得：f（x）的零点在 上；（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零点x0∈（ ，2），且f（x0）=0，从而可证：对任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．